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%      组合数学(combinational mathematics)
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%\chapter{组合数学(combinational mathematics)}

\vspace{0.5cm}
	\textit{现代数学可以分为两大类：一类是研究连续对象的，如分析学、方程等，另一类就是研究离散对象的数学。}\par
	
	\textit{有人认为广义的组合数学就是离散数学，也有人认为离散数学是狭义的组合数学和图论、代数结构、数理逻辑等的总称。但这只是不同学者在叫法上的区别，随着计算机科学的日益发展，组合数学的重要性也日渐凸显，因为计算机科学的核心内容是使用算法处理离散数据。}\par
	
	\textit{组合数学不仅在基础数学研究中具有极其重要的地位，在其它的学科中也有重要的应用，如计算机科学、编码和密码学、物理、化学、生物学等学科中均有重要应用。微积分和近代数学的发展为近代的工业革命奠定了基础。而组合数学的发展则是奠定了本世纪的计算机革命的基础。}\par
	
	\textit{计算机之所以可以被称为电脑，就是因为计算机被人编写了程序，而程序就是算法，在绝大多数情况下，计算机的算法是针对离散的对象，而不是在做数值计算。确切地说，组合数学是计算机出现以后迅速发展起来的一门数学分支，主要研究离散对象的存在、计数以及构造等方面问题。由于计算机软件的促进和需求，组合数学已成为一门既广博又深奥的学科，其发展奠定了本世纪的计算机革命的基础，并且改变了传统数学中分析和代数占统治地位的局面。正是因为有了组合算法才使人感到，计算机好像是有思维的。}\par
	
	\textit{组合数学不仅在软件技术中有重要的应用价值，而且在企业管理、交通规划、战争指挥、金融分析等领域都有重要的应用。在美国有一家用组合数学命名的公司，他们用组合数学的方法来提高企业管理的效益，这家公司办得非常成功。此外，试验设计也是具有很大应用价值的学科，它的数学原理就是组合数学。用组合数学的方法解决工业界中的试验设计问题，在美国已有专门的公司开发这方面的软件。}\footnotemark

\footnotetext{https://baike.baidu.com/item/组合数学/821134?fr=aladdin}
\vspace{0.5cm}

\section{排列与组合(permutation and combination)}


\subsection{排列}

\begin{definition}{排列定义}{int}
	从m个不同的元素中每次取一个元素，依次放到n($n \leq m$)个位置上，称为一个n排列，所有的可能的排列数记为$P_n^m$。
\end{definition}

\begin{theorem}{排列数计算\cite{沈永欢1992实用数学手册}}{set}
	$P_n^m=m(m-1)\dots(m-n+1)$；$P_m^m=m\cdot (m-1)\dots 1 = m!$。
\end{theorem}

\subsection{组合}

\begin{definition}{组合定义}{int}
	从m个不同的元素中选n个不同元素，这样一个选法称为一个n组合，所有的可能的组合数记为$C_n^m$或$\dbinom{m}{n}$。
\end{definition}

\begin{theorem}{组合数计算}{set}
	$C_n^m=\dfrac{P_n^m}{n!}$。
\end{theorem}

\subsection{二项式定理}

\begin{theorem}{二项式定理}{set}
	n为非负整数，则$(a+b)^n=\sum_{i=0}^{n}C_i^n a^{n-i}b^i$，特别$(1+x)^n=\sum_{i=0}^{n}C_i^n x^i$，$C_i^n$称为二项式系数。
\end{theorem}
我国南宋时期数学家杨辉在他著作《详解九章算法》中提出了杨辉三角形来研究二项式系数\cite{沈永欢1992实用数学手册}。

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%      生成函数
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\section{生成函数}

\begin{fussy}
	\textit{生成函数(generation function)即母函数，是组合数学中尤其是计数方面的一个重要理论和工具。
		生成函数有普通型生成函数和指数型生成函数两种，其中普通型用的比较多。形式上说，普通型生成函数用于解决多重集的组合问题，而指数型母函数用于解决多重集的排列问题。
		最早提出母函数的人是法国数学家LaplaceP.S.在其1812年出版的《概率的分析理论》中明确提出“生成函数的计算”，书中对生成函数思想奠基人——Euler L在18世纪对自然数的分解与合成的研究做了延伸与发展。生成函数的理论由此基本建立。
		生成函数的应用简单来说在于研究未知（通项）数列规律，用这种方法在给出递推式的情况下求出数列的通项，生成函数是推导Fibonacci数列的通项公式方法之一，另外组合数学中的Catalan数也可以通过生成函数的方法得到。
		另外生成函数也广泛应用于编程与算法设计、分析上，运用这种数学方法往往对程序效率与速度有很大改进。}
	\footnotemark
\end{fussy}

\footnotetext{https://baike.baidu.com/item/生成函数}
\vspace{0.5cm}

生成函数对于研究序列问题具有重要意义，我们看看MIT在其课件中的介绍\footnote{\url{https://ocw.mit.edu/courses/electrical-engineering-and-computer-science/6-042j-mathematics-for-computer-science-fall-2010/readings/MIT6_042JF10_chap12.pdf}}，也就是说，运用生产函数的，可以把序列(在本书的表述中序列和数列概念为同一概念)研究变为函数性质的研究，从而通过对单个函数的研究，可以知道整个序列的性质，而对于函数的研究有很多成果是可以使用的。\par

\begin{figure}[!htbp]
	\centering
	\includegraphics[width=0.9\textwidth]{figure/importance-GF.png}
	\caption{生成函数的重要意义\label{fig:importance-GF}}
\end{figure}

\subsection{基本定义}

\begin{definition}{生成函数(无限数列)\cite{沈永欢1992实用数学手册}}{int}
	设数列${a_n}_{n=0}^{\infty}={a_0,a_1,a_2, \ldots ,a_n,\ldots}$是一个无穷数列，称以下形式的幂级数为此数列的普通生成函数或寻常生成函数，简称普生成函数：\\
	$A(x)=a_0+a_1 x^1 +a_2 x^2 + \dots +a_n x^n + \ldots =\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$\\
	普生成函数有时也记为$G(x)$。称以下形式的幂级数为指数生成函数，简称指生成函数：\\
	$B(x)=a_0+a_1 \frac{x^1}{1!} +a_2 \frac{x^2}{2!} + \dots +a_n \frac{x^n}{n!} + \ldots =\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} \frac{x^{n}}{n!}$
\end{definition}

\begin{definition}{生成函数的相等\cite{沈永欢1992实用数学手册}}{int}
	设$E(x)$是数列${e}_{n=0}^{\infty}$的生成函数，$F(x)$是数列${f}_{n=0}^{\infty}$的生成函数，若$a_n=b_n(n=0,1,2,\ldots)$，则称$E(x)$和$F(x)$相等，记为$E(x)=F(x)$。
\end{definition}

\begin{example}\cite{沈永欢1992实用数学手册}
	由二项式定理，我们知道$(1+x)^n=\sum_{i=0}^{n}C_i^n x^i$，根据生成函数的定义，我们知道$(1+x)^n$就是数列$C_{i=0}^n$的普生成函数，由于$C_i^n = \dfrac{P_i^n}{i!}$，所以我们可以将$(1+x)^n$的展开式写为$(1+x)^n=\sum_{i=0}^{n}P_i^n \dfrac{x^i}{i!}$，根据指生成函数的定义，我们知道$(1+x)^n$也是数列$C_{i=0}^n$的指生成函数。
\end{example}
我们可以将生成函数扩展到更一般形式的定义。\par

\begin{definition}{函数序列线性无关\cite{沈永欢1992实用数学手册}}{int}
	对于函数序列${g_n(x)}_{n=0}^\infty$，不存在不全为零的常数$k_0,K_1,K_2,\ldots,k_n,\ldots$，使$k_0 g_0(x) + k_1 g_1(x)+ \ldots +k_n g_n(x)+ \ldots = 0$，我们称此函数序列线性无关。
\end{definition}

\begin{definition}{一般形式生成函数\cite{沈永欢1992实用数学手册}}{int}
	函数序列${g_n(x)}_{n=0}^\infty$线性无关，称以下形式的函数为序列${a_n}_{n=0}^\infty$的一般形式生成函数。
	$G(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n g_n(x)=a_0 g_0(x) + a_1 g_1(x) +a_1 g_1(x) + \ldots +a_n g_n(x) + \ldots$
\end{definition}


\begin{definition}{生成函数(有限数列)}{int}
	对于数列$a_0,a_1,a_2, \ldots ,a_n$，称$G(x)=a_0+a_1 x^1 +a_2 x^2 + \dots +a_n x^n  =\sum_{i=0}^{n} a_{i} x^{i}$为该数列的生成函数。
\end{definition}

\subsection{生成函数的代数运算}
设${a_n}_{n=0}^\infty$和${b_n}_{n=0}^\infty$的生成函数分别为$A(x)$和$B(x)$。\par

\begin{definition}{数量乘积\cite{沈永欢1992实用数学手册}}{int}
	若$\lambda$是一个数，则称${\lambda a_n}_{n=0}^\infty$的生成函数$C(x)$为数$\lambda$与${a_n}_{n=0}^\infty$的生成函数$A(x)$的数量乘积,记为$C(x)=\lambda A(x)$。
\end{definition}

\begin{definition}{生成函数的和\cite{沈永欢1992实用数学手册}}{int}
	若$c_n= a_n + b_n(n=0,1,2,\ldots,n,\ldots)$，则称${c_n}_{n=0}^\infty$的生成函数$C(x)$为$A(x)$和$B(x)$的和,记为$C(x)=A(x) + B(x)$。
\end{definition}

\begin{definition}{生成函数的积\cite{沈永欢1992实用数学手册}}{int}
	序列${c_n}_{n=0}^\infty$的生成函数为$C(x)$,元素$c_n= \sum_{i+j=n}^{}a_i b_j$，则称$C(x)$为${a_n}_{n=0}^\infty$和${b_n}_{n=0}^\infty$的普生成函数的积，记为$C(x)=A(x) B(x)$。\par
	序列${c_n}_{n=0}^\infty$的生成函数为$C(x)$,元素$c_n= \sum_{i=0}^{n} \dbinom{n}{i} a_i b_{n-i}$，则称$C(x)$为${a_n}_{n=0}^\infty$和${b_n}_{n=0}^\infty$的指数生成函数的积，记为$C(x)=A(x) B(x)$。
\end{definition}

\begin{definition}{生成函数集合\cite{沈永欢1992实用数学手册}}{int}
	全体普生成函数组成集合$\varepsilon$，在此集合中有一个元素$A(x)=\sum_{n=0}^{\infty}$,对于所有的$n \geq 0,a_n=0$，我们称此生成函数$A(x)$为$\varepsilon$中的零元，并记为0；若$a_0=1$，且对于所有的$n \geq 1,a_n=0$，我们称此生成函数为$\varepsilon$中的幺元，记为1。
\end{definition}

\begin{theorem}{$\varepsilon$上的运算}{set}
	\begin{itemize}
		\item $\varepsilon$与加法和乘法组成一个整环。
		\item $\varepsilon$与数乘和加法组成数域上的一个向量空间。
		\item $\varepsilon$与数乘、加法和乘法组成数域上的一个代数。
	\end{itemize}
\end{theorem}

\begin{definition}{逆元\cite{沈永欢1992实用数学手册}}{int}
	对于生成函数$A(x)$，若存在生成函数$B(x)$，使得$A(x)B(x)=1$，称$B(x)$为$A(x)$的逆元，记为$A_{-1}(x)$，称$A(x)$可逆。
\end{definition}


\begin{theorem}{逆元求解}{set}
	普生成函数$A(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n$存在逆元的充分必要条件是$a_0 \neq 0$。逆元$A^{-1}(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\hat{a}_n x^n$，其中:\\
	$\hat{a}_0 = a_0^{-1}$，\\
	$\hat{a}_n =(-1)^n a_0^{-n-1}\left| \begin{matrix}
	a_1& a_2& a_3 & \ldots & a_n\\
	a_0& a_1& a_2 & \ldots & a_{n-1}\\
	0  & a_0& a_1 & \ldots & a_{n-2}\\
	0  & 0  & 0   & \ldots & a_2\\
	0  & 0  & 0   & \ldots & a_1\\
	\end{matrix} \right| ,n=1,2,\ldots$.
\end{theorem}

\subsection{拆分问题}

\begin{definition}{n的一个k拆分}{int}
	将一个正整数n分解为k个正整数之和，即$n=n_1+n_2+\dots+n_k    (k \geqslant 1;n_i \geqslant 1,i=1,2,\dots,k )$，我们称该分解是n的一个k拆分，并称$n_i$为分项。若考虑$n_i$之间的顺序，称这样的拆分为有序拆分，否则称为无序拆分。
\end{definition}

\begin{definition}{n的拆分数}{int}
	正整数n的所有无序拆分的个数称为n的拆分数，记为$p(n)$，即$p(n)=\sum_{k=1}^{n}p_k(n)$。
\end{definition}

\begin{fussy}
	整数分拆理论，主要是研究各种类型的分拆函数的性质及其相互关系。早在中世纪，就有关于特殊的整数分拆问题的研究。18世纪40年代，L.欧拉提出了用母函数法（或称形式幂级数法）研究整数分拆，证明了不少有重要意义的定理，为整数分拆奠定了理论基础。解析数论中的圆法的引进，使整数分拆理论得到了进一步发展。整数分拆与模函数有密切关系，并在组合数学、群论、概率论、数理统计学及质点物理学等方面都有重要应用。\par
	
	根据是否考虑分拆部分之间的排列顺序，我们可以将整数分拆问题分为有序分拆（composition）和无序分拆（partition）。两者之间的区别如下：
	在有序分拆中，考虑分拆部分求和之间的顺序。\par
	
	假定分拆之间不同的排序记为不同的方案，称之为n的有序k拆分，如3的有序2拆分为：3=1+2=2+1。我们可以将这个问题建模为排列组合中的“隔板”问题，即n个无区别的球分为r份且每份至少有一个球，则需要用r-1个隔板插入到球之间的n-1个空隙，因此总共的方案数为C(n-1,r-1)。\par
	
	在无序拆分中，不考虑其求和的顺序 ，我们称之为n的无序k拆分，如3的无序k拆分为：3=1+2。这种拆分可以理解为将n个无区别的球分为r份且每份至少有一个球。\par
	一般情况下，无序拆分的个数用 p(n) 表示，则 p(2)=1，p(3)=2，p(4)=4。\par
	在通常情况下，整数分拆是指整数的无序分拆。
	\footnotemark
\end{fussy}
\footnotetext{https://baike.baidu.com/item/整数分拆}

\subsection{组合计数问题}

\begin{theorem}{生成函数运算}{set}
	(1)    $A(x)=B(x)\Longleftrightarrow a_k = b_k,k=0,1,2,\dots$。生成函数相同，生成序列相同。\\
	(2)    $A(x)+B(x)=C(x)\Longleftrightarrow a_k+b_k=c_k,k=0,1,2,\dots$。\\
	(3)    $A(x)B(x)=C(x)\Longleftrightarrow c_0=a_0 b_0,c_1=a_0 b_1+ a_1 b_0,\dots,c_k =a_0 b_k+ a_1 b_{k-1}+\dots +a_{k-1} b_1+a_kb_0,\dots$。
\end{theorem}
有了生成函数的概念，就可以讨论他与组合计数的关系。
\begin{example}
	4个相同球放入5个不同的盒子里，要求1，2，每盒最多不超过1个，4，5最多不超过两个，问有多少放法？
\end{example}
\begin{solution}
	用$x^k$表示放k个球，现设计一个符合题意的放法:1，2盒各放一个，3盒放0个，4盒放2个，5盒放0个，符号表示为:$x^1 x^1 x^0 x^2 x^0$。\par
	
	另外,五个盒子的方法，用多项式表示为，$(x^0 + x^1)(x^0 + x^1)(x^0 + x^1)(x^0 + x^1 +x^2)(x^0 + x^1 +x^2) = (1+x)^3 (1+x+x^2)^2 $,这个多项式中$x^4=x^1 x^1 x^0 x^2 x^0$恰是题中描述的分配方案，因此，满足题意分配方案与多项式展开式中的$x^4$正好一一对应，所以$x^4$项系数即为方案数目。
\end{solution}

\begin{example}
	有1克，2克，3克，4克砝码各1枚，问能称出几种重量？每种重量有几种方案。
\end{example}
\begin{solution}
	1克砝码有不取和取，不取用$x^0=1$表示，取用$x^1$表示，记做$1+x$。
	2克$1+x^2$,3克$1+x^3$,4克$1+x^4$，生成函数$g(x)=(1+x)(1+x^2)(1+x^3)(1+x^4)=1+x+x^2+2x^3+2x^4+2x^5+2x^6+2x^7+x^8+x^9+x^{10}$，可见，可称10种重量，每种重量方案数为系数，5g方案有两种。
\end{solution}

\subsection{序列(sequence)}
我们在看一些参考书时，会看到有些书说的是序列，有些书说的是数列，这两个名词对应的英文通常都是sequence，所以大家可以把这两个概念看成一个概念。\par

\footnote{\url{https://encyclopediaofmath.org/wiki/Sequence}}A function defined on the set of positive integers whose range is contained in the set considered.\par

\begin{note}
	序列其实就是一类特殊的函数，所以研究函数的方法和有关函数的结论是可以用在序列上的。
\end{note}

An element, or term, of a sequence  $  f :  \mathbf N \rightarrow X $, where  $  \mathbf N $
is the set of positive integers and  $  X $ is the given set, is an ordered pair  $  ( n , x ) $, 
$  x = f ( n) $, $  n \in \mathbf N $, $  x \in X $, denoted by  $  x _ {n} $. 
The positive integer  $  n $ is called the number (or index) of the term  $  x _ {n} $ and the element  $  x \in X $
is called its value. The sequence  $  f :  \mathbf N \rightarrow X $ is usually denoted by  $  \{ x _ {n} \} $ or  $  x _ {n} $, $  n = 1 , 2 , .  .  . $.
\par

The set of elements of a sequence is always countable; moreover, two different terms of a sequence are different at least with respect to their indices. The set of values of the elements of a sequence may be finite; e.g., the set of values of any stationary sequence, i.e. of a sequence  $  \{ x _ {n} \} $ all elements of which have one and the same value  $  x _ {n} = a $, $  n = 1 , 2 \dots $ consists of one element.
\par

If  $  n _ {1} < n _ {2} $, then the term  $  x _ {n _ {1}  } $ of a sequence  $  \{ x _ {n} \} $ is called a predecessor of an element  $  x _ {n _ {2}  } $, and the term  $  x _ {n _ {2}  } $ is called a successor of  $  x _ {n _ {1}  } $. Thus, the set of elements of a sequence is ordered.
\par

Various types of sequences are encountered in many branches of mathematics. They help to describe many properties of objects under study. For instance, if  $  X $ is a \textsl{Topological space}, then among the sequences of points of it an important role is played by convergent sequences, i.e. by sequences that have a \textsl{Limit} in this space. Convergent sequences are convenient (at least when a countable base is available) for the description of such properties as compactness, existence of a limit of a mapping, continuity of a mapping, etc. If all elements of a sequence of some objects (points, sets, mappings, etc.) have a certain property, it is often important to find out whether this property is preserved at a limit point of this sequence. For example, to consider the behaviour of such properties as measurability, continuity, differentiability, and integrability under limit transition for different types of convergence of functions (pointwise convergence, convergence almost-everywhere, uniform convergence, convergence in measure, convergence in the mean, etc.).
\par

Sometimes a mapping  $  f :  \overline{ {1 , n }}\; \rightarrow X $
from a finite set  $  \overline{ {1 , n }}\; = \{ 1 \dots n \} $
of positive integers into a set  $  X $
is called a finite sequence and is denoted by  $  \{ x _ {1} \dots x _ {n} \} $, 
where  $  x _ {k} = f ( k) $, 
$  k = 1 \dots n $. 
A sequence can be given by a formula for its general term (e.g. an arithmetical sequence), by a recurrence formula (e.g. the sequence of Bernoulli numbers) or simply by a verbal description with a certain degree of efficiency (e.g. the sequence of all positive prime integers in ascending order). 


\subsubsection{periodic sequence}
A sequence $\left\lbrace  a_i  \right\lbrace $ is said to be periodic with period p with if it satisfies $a_i=a_{i+np}$  for $n=1, 2,\ldots$. For example, $\left\lbrace  1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,\ldots \right\lbrace  $ is a periodic sequence with least period 2. \footnote{\url{https://mathworld.wolfram.com/PeriodicSequence.html}} \par

\subsubsection{递归关系(recurrence relation)}

\begin{definition}{递归关系\cite{沈永欢1992实用数学手册}}{int}
	若k元整变量函数$f(n_1,n_2,\ldots,n_k)$与某一确定的l元函数$g(x_1,x_2,\ldots,x_l)$之间有如下关系：\\
	\begin{equation}\label{rr:1}
		g(f(m_1^{(1)},m_2^{(1)},\ldots,m_k^{(1)}), \ldots, f(m_1^{(l)},m_2^{(l)},\ldots,m_k^{(l)})) \begin{matrix}
		>\\
		=\\
		<
		\end{matrix} 0,
	\end{equation} 
	其中$m_i^{(j)}$为一函数$m_i^{(j)} = m_i^{(j)} (n_1,n_2,\ldots,n_k)$,我们称\eqref{rr:1}为函数f的一个递归关系。若函数f满足递归关系\eqref{rr:1}，则称f为此递归关系的一个解。若g是一个线性函数，且\eqref{rr:1}为等式关系，称\eqref{rr:1}为一个线性递归关系，不是线性递归关系的称为非线性递归关系。
\end{definition}
非线性递归关系既包括函数g是非线性函数的情况，也包括g是线性函数，而\eqref{rr:1}为不等式的情况。\par

\begin{definition}{一元线性递归关系\cite{沈永欢1992实用数学手册}}{int}
	设数列$\{u_n\}$满足一元线性递归关系$u_{n+r}=a_1 u_{n+r-1} + a_2 u_{n+r-2} + \ldots + a_r u_n(n \geq 0)$,其中$a_i(i=1,2,\ldots,n)$为常数，如果$a_r \neq 0$,称其为r阶线性递归关系。
\end{definition}


\subsubsection{Recursive sequence(recurrent sequence)}

\footnote{\url{https://encyclopediaofmath.org/wiki/Recursive_sequence}} A sequence $a_0,a_1,\dots,$ defined over a [[field]] $K$ that satisfies a relation
\begin{equation}\label{eq:1}
a_{n+p}+c_1a_{n+p-1}+\dots+c_pa_n=0,
\end{equation}
where $c_1,\dots,c_p$ are constants. The relation permits one to compute the terms of the sequence one by one, in succession, if the first $p$ terms are known. A classical example of such a sequence is the sequence of [[Fibonacci numbers]] $1,1,2,3,5,8$ defined by $a_{n+2}=a_{n+1}+a_n$ with $a_0=0$, $a_1=1$.  
\par

The sequences satisfying satisfying \eqref{eq:1} form a vector space over $K$ of dimension $p$ with basis given by the impulse response sequence $(0,0,\dots,1,\dots)$ and its left shifts.
\par

The ''characteristic polynomial'' (also, companion or auxiliary polynomial) of the recurrence is the polynomial 
$$
F(X) = X^p+c_1 X^{p-1}+\dots+c_{p-1} X + c_p\ .
$$
It is the characteristic polynomial of the left shift operator acting on the space of all sequences.  If $\alpha$ is a root of $F$, then the sequence $(\alpha^n)$ satisfies \eqref{eq:1}.  
\par

A ''recursive series'' is a [[power series]] $a_0+a_1x+a_2x^2+\dots$ whose coefficients form a recursive sequence. Such a series represents an everywhere-defined [[rational function]]: its denominator is the reciprocal polynomial $X^p F(1/X)$.


\subsubsection{线性反馈移位寄存器(LFSR)}
The linear complexity (LC) of a sequence is the size in bits of the shortest linear feedback shift register (LFSR) which can produce that sequence. The measure therefore speaks to the difficulty of generating -- and perhaps analyzing -- a particular sequence. 
Randomness can be seen as the size of the smallest program to produce a given sequence. But linear complexity is the size of a LFSR "processor" to produce a sequence, and there is an algorithm (Berlekamp-Massey) to measure the LC. So the resulting LC value might be used to measure one view of randomness. \footnote{Linear Complexity: A Literature Survey,Research Comments from Ciphers by Ritter,网址\url{http://www.ciphersbyritter.com/RES/LINCOMPL.HTM}}
\par

\subsubsection{其他}
关于序列的数学研究有很多，比如有关级数(series)的研究，特别是幂级数(power series)和傅里叶级数(Fourier series)等。
